Question

14．求下列函數(shù)的解析式
（1）（請用兩種方法）若$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且f[f（x）]=4x+3，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）利用配湊法、換元法，可得函數(shù)解析式；
（2）利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）法1：$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$=$（\sqrt{x}+1）^{2}-1$，∴f（x）=x²-1（x≥1）；
法2：設(shè)t=$\sqrt{x}$+1（t≥1），則f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
（2）∵y=f（x）是一次函數(shù)，∴設(shè)f（x）=ax+b，a≠0，
則f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=4x+3，
則a²=4，ab+b=3，
若a=2，則b=1，若a=-2，則b=-3，
即f（x）=2x+1或-2x-3．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用配湊法、換元法、待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．