Question

9．函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{a}{{x}^{2}}$（a＞0）．若當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[e，+∞）．

Answer 1

分析 先分離參數(shù)，化為a≥2x²（1-lnx），在x∈（0，+∞）上恒成立，然后只需求出g（x）=2x²（1-lnx），（x＞0）的最大值即可．結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識容易解決問題．

解答 解：∵f（x）=2lnx+$\frac{a}{{x}^{2}}$（a＞0）．若當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥2恒成立，
∴2lnx+$\frac{a}{{x}^{2}}$≥2，在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥2x²（1-lnx），
設(shè)g（x）=2x²（1-lnx），
∴g′（x）=2x（1-2lnx），
令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=2e（1-$\frac{1}{2}$）=e，
∴a≥e，
故a的取值范圍為[e，+∞），
故答案為：[e，+∞）

點評 本題考查了不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)，注意導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值問題中的應(yīng)用．