Question

18．已知曲線C₁：y=e^x上一點(diǎn)A（x₁，y₁），曲線C₂：y=1+ln（x-m）（m＞0）上一點(diǎn)B（x₂，y₂），當(dāng)y₁=y₂時(shí)，對于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，則m的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{e}$
• C． e-1
• D． e+1

Answer 1

分析 當(dāng)y₁=y₂時(shí)，對于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-m），x₂-x₁≥e，一方面0＜1+ln（x₂-m）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，${x}_{2}＞m+\frac{1}{e}$．利用lnx≤x-1（x≥1），考慮x₂-m≥1時(shí)．可得1+ln（x₂-m）≤x₂-m，令x₂-m≤${e}^{{x}_{2}-e}$，可得m≥x-e^x-e，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可得出．

解答 解：當(dāng)y₁=y₂時(shí)，對于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-m），x₂-x₁≥e，
∴0＜1+ln（x₂-m）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，∴${x}_{2}＞m+\frac{1}{e}$．
∵lnx≤x-1（x≥1），考慮x₂-m≥1時(shí)．
∴1+ln（x₂-m）≤x₂-m，
令x₂-m≤${e}^{{x}_{2}-e}$，
化為m≥x-e^x-e，x＞m+$\frac{1}{e}$．
令f（x）=x-e^x-e，則f′（x）=1-e^x-e，可得x=e時(shí)，f（x）取得最大值．
∴m≥e-1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、方程的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．