Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ）（其中ϕ是實數(shù)），若$f（x）≤|{f（{\frac{π}{6}}）}|$對x∈R恒成立，且$f（{\frac{π}{2}}）＞f（0）$，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�

• A． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
• B． $[{kπ，kπ+\frac{π}{2}}]（{k∈Z}）$
• C． $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$
• D． $[{kπ-\frac{π}{2}，kπ}]（{k∈Z}）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由$f（x）≤|{f（{\frac{π}{6}}）}|$對x∈R恒成立，則f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象分析可得2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，解可得ϕ=kπ+$\frac{π}{6}$，進(jìn)而結(jié)合$f（{\frac{π}{2}}）＞f（0）$，分析可得sinϕ＜0，結(jié)合題意可以求出滿足條件的具體的φ值，然后根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，即可得到答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ）中，
若$f（x）≤|{f（{\frac{π}{6}}）}|$對x∈R恒成立，則f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，
則有2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，
解可得ϕ=kπ+$\frac{π}{6}$，
又由$f（{\frac{π}{2}}）＞f（0）$，則有sin（2×$\frac{π}{2}$+ϕ）＞sin（2×0+ϕ），
即sinϕ＜0，
可以設(shè)k=-1，則有ϕ=-$\frac{5}{6}$π符合題意，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$；
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、三角函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出滿足條件的ϕ的值．