Question

20．從某工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)，由測量結(jié)果得到下列頻數(shù)分布表：

指標(biāo)值分組	[75，85）	[85，95）	[95，105）	[105，115）	[115，125]
頻數(shù)	30	120	210	100	40

（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，并估計該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)$\overline x$及方差s²（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點值作代表）；
（2）可以認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline x$，σ²．近似為樣本方差s²； 一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)不小于110時該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品；利用該正態(tài)分布，計算這種產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率p（結(jié)果保留小數(shù)點后4位）．
（以下數(shù)據(jù)可供使用：若Z～N（μ，δ²），則P（μ-δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ-2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)作出的頻率分布直方圖；根據(jù)平均數(shù)和方差的定義和公式即可估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均值及方差；
（2）利用P（Z≥110）=$\frac{1}{2}[$1-P（90＜Z＜110），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）頻率分布直方圖如下：
質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為$\overline{x}$=80×0.06+90×0.24+100×0.42+110×0.2+120×0.08=100，
樣本方差為s²=$\frac{1}{500}$[（-20）²×6+（-10）²×28+0×34+10²×24+20²×8]=21.6，
故估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均值及方差分別為100，21.6．
（2）P（Z≥110）=$\frac{1}{2}[$1-P（90＜Z＜110）=$\frac{1}{2}$（1-0.6826）=0.1587．

點評 本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及方差、平均數(shù)的求解，考查正態(tài)分布的運用，考查學(xué)生的運算能力．