Question

12．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，F(xiàn)D⊥底面ABCD，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若EC=2，F(xiàn)D=3，求平面ADF與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BCDM是正方形，從而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能證明CM⊥平面BDF．
（2）建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CD，CE分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，F(xiàn)D⊥BD，
∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，
連接DM，則DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴四邊形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，
∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．
∵CM?平面CFM．
∴平面CFM⊥平面BDF；
（2）建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CD，CE分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵EC=2，F(xiàn)D=3，BC=CD=2，
∴B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（0，2，3），
則$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（0，2，1），
設(shè)平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=-$\frac{1}{2}$，z=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{2}$，1），
由（1）知AD=BD，∠ABD=45°，則，∠ADB=90°，即AD⊥BD，
∵DF⊥BD，∴BD⊥平面ADF，
則$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）是平面ADF的一個法向量，
則cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則sin＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即平面ADF與平面BEF所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明以及二面角的求解，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．