Question

18．有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，若a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，且（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，則有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中值為0的項(xiàng)數(shù)是（　　）

• A． 1000
• B． 1010
• C． 1015
• D． 1030

Answer 1

分析 （a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，展開把a(bǔ)₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，代入化簡(jiǎn)可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$=1005，
由于數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，即可得出．

解答 解：（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，
展開可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）+2015=3870，
把a(bǔ)₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，代入化簡(jiǎn)可得：
${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$=1005，
∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)，
∴有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中值為0的項(xiàng)數(shù)=2015-1005=1010．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了乘法公式化簡(jiǎn)求值、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．