Question

10．已知函數(shù)f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2（x∈R），則f（x）的最大值為$\frac{{4\sqrt{2}-5}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
函數(shù)f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2=2t-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t²-4t）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，
故當t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為-$\frac{1}{2}$•${（\sqrt{2}-2）}^{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$．

點評 本題主要考查求三角函數(shù)的最值，用t表示函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．