Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列，令b_n=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=2a_n-a₁與S_n-1=2a_n-1-a₁（n≥2）作差可知a_n=2a_n-1（n≥2），利用a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列可知a₁=2，從而數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，可知S_n=2a_n-a₁，
從而S_n-1=2a_n-1-a₁（n≥2），
上述兩式相減，可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-2a_n-1，
所以a_n=2a_n-1（n≥2），
從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，a₄=2a₃=8a₁，
又因為a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列，
所以a₁+a₄=2（a₃+1），即a₁+8a₁=2（4a₁+1），
解之得a₁=2，
又a_n=2a_n-1（n≥2），
所以數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$…（6分）
（2）由（1），可知${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，①
以上等式兩邊同乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②
由①-②，可得得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-{（\frac{1}{2}）^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
=$1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$…（14分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．