Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax+b-lnx表示的曲線在點（2，f（2））處的切線方程x-2y-2ln2=0
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≥kx-2對于x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：n∈N^*時，n（n+1）≤2$\frac{{e}^{n}-1}{e-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由已知切線方程可得切線的斜率和切點坐標(biāo)，解方程可得a，b；
（2）f（x）≥kx-2對于x∈（0，+∞）恒成立，即有k-1≤$\frac{1-lnx}{x}$對于x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到k的范圍；
（3）f（x）=x-1-lnx（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得x-1≥lnx，取x=n，則n-1≥lnn，即有n≤e^n-1．運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=ax+b-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
在點（2，f（2））處的切線方程x-2y-2ln2=0，
即有a-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得a=1，
f（2）=2a+b-ln2=1-ln2，解得b=-1，
則有a=1，b=-1；
（2）解：f（x）≥kx-2對于x∈（0，+∞）恒成立，即有
x-1-lnx≥kx-2對于x∈（0，+∞）恒成立，
即有k-1≤$\frac{1-lnx}{x}$對于x∈（0，+∞）恒成立．
令g（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e²時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜e²時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則x=e²處g（x）取得極小值，也為最小值，且為-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即有k-1≤-$\frac{1}{{e}^{2}}$，解得k≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（3）證明：f（x）=x-1-lnx（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=1處f（x）取得極小值，也為最小值，且為0，
則有f（x）≥0，
即為x-1≥lnx，
取x=n，則n-1≥lnn，
即有n≤e^n-1．
即有1+2+…+n≤1+e+e²+…+e^n-1．
則有$\frac{1}{2}$n（n+1）≤$\frac{1-{e}^{n}}{1-e}$，
即有n∈N^*時，n（n+1）≤2$\frac{{e}^{n}-1}{e-1}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值及最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．