Question

17．定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），且滿足f（x）＞f'（x），f（0）=1，則不等式$\frac{f（x）}{e^x}＜1$的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴F′（x）＜0，即函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞減．
∵f（0）=1，
∴不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1等價(jià)為F（x）＜F（0），
解得x＞0，
故不等式的解集為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．