Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直線l過(guò)原點(diǎn)，
（1）若直線l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線l截雙曲線C的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=kx，代入雙曲線的方程，由判別式大于0，解不等式即可得到所求k的范圍；
（2）將直線y=$\frac{1}{2}$x，代入雙曲線的方程，求得交點(diǎn)，由距離公式可得弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y=kx，
代入雙曲線的方程，可得（1-k²）x²=4，
由題意可得1-k²＞0，解得-1＜k＜1，
即有實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-1，1）；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線為y=$\frac{1}{2}$x，
代入雙曲線的方程可得（1-$\frac{1}{4}$）x²=4，
解得x=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即有交點(diǎn)為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
可得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{\frac{16}{3}+\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的運(yùn)用，考查直線和雙曲線的方程聯(lián)立，求弦長(zhǎng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．