Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$（a＞0）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若不等式f（x）＞b-log₂|x|在[-2，-1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法f（1）=$\frac{2}{a}$$+\frac{a}{2}$=f（-1）=$\frac{1}{2a}$+2a，求出a的值；
（2）利用定義設(shè)定義域內(nèi)任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)即可；
（3）整理不等式得f（x）+log₂（-x）＞b恒成立，利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)為偶函數(shù)，
∴f（1）=$\frac{2}{a}$$+\frac{a}{2}$=f（-1）=$\frac{1}{2a}$+2a，
∴a=1；
（2）f（x）=2^x+2^-x，
設(shè)定義域內(nèi)任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）f（x）＞b-log₂|x|在[-2，-1]上恒成立，
∴f（x）+log₂（-x）＞b恒成立，
∵f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）在（-∞，0）上遞減，log₂（-x）也為減函數(shù)，
∴f（x）+log₂（-x）≥f（-1）+log₂1=$\frac{5}{2}$，
∴b＜$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，單調(diào)性的證明方法和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．