Question

3．已知復數(shù)z₁=x+8i，z₂=3+2yi，z=x+yi（x、y∈R），若z₁=z₂，
（1）求|z|；
（2）若z是關于x的方程x²-mx+n=0（m、n∈R）的一個根，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知結合復數(shù)相等可得x，y的值，則z可求，由復數(shù)模的公式求|z|；
（2）把z代入x²-mx+n=0，整理后由復數(shù)相等的條件列關于m，n的方程組求解．

解答 解：（1）z₁=x+8i，z₂=3+2yi，z=x+yi（x、y∈R），
若z₁=z₂，則$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{2y=8}\end{array}\right.$，∴x=3，y=4，
∴z=3+4i，則|z|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$；
（2）∵z是關于x的方程x²-mx+n=0（m、n∈R）的一個根，
∴z²-mz+n=0，即（3+4i）²-m（3+4i）+n=0，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n-7=0}\\{24-4m=0}\end{array}\right.$，解得m=6，n=25．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，考查復數(shù)相等的條件，是基礎的計算題．