Question

20．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）證明：f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）判定f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，
（2）令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，得到0＜f（x）＜1，得到對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞0，得到f（x）=f（x+y-y）=f（x-y）•f（y），問題得證明
（3）再根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，則 f（x₂）-f（x₁）＞0，得到函數(shù)為增函數(shù)．

解答 解：（1）令x=1，y=0
則f（1）=f（1）•f（0），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，
∴f（0）=1，
（2）令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，
∴f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
綜上所述，對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞0，
∵f（x）=f（x+y-y）=f（x-y）•f（y）
∴f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
由x₂-x₁＞0，可得  f（x₂-x₁）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）是定義域上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化化歸的思想的應(yīng)用，屬于中檔題．