Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx，其中a，b為常數(shù)．
（1）若a=0，且f（x）與g（x）相切，求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）．
①當(dāng)b=0時，若h（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
②若a+b=0，試討論h（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把a=0代入函數(shù)的表達(dá)式，分別求出函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，求出b的值即可；
（2）①b=0時，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），令m（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出函數(shù)m（x）的最大值，從而求出a的范圍；
②問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的交點問題，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象，從而求出函數(shù)的交點即函數(shù)的零點問題．

解答 解：（1）a=0時：f（x）=bx，f′（x）=b，g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵f（x）與g（x）相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{x}}\\{bx=lnx}\end{array}\right.$，解得：b=$\frac{1}{e}$；
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=ax²+bx-lnx，
①b=0時：h（x）=ax²-lnx≥0，a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令m（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，則m′（x）=$\frac{x-2xlnx}{{x}^{4}}$=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，令m′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
∴函數(shù)m（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
∴m（x）_max=m（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a≥$\frac{1}{2e}$；
②若a+b=0，h（x）=ax²-ax-lnx，
令h（x）=0，則ax²-ax=lnx，
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ax²-ax與y=lnx的交點個數(shù)問題，
a＞0時，畫出函數(shù)y=ax²-ax與y=lnx的圖象，如圖示：
∴函數(shù)h（x）有2個零點，
a＜0時，畫出函數(shù)y=ax²-ax與y=lnx的圖象，如圖示：
函數(shù)有1個零點，
a=0時，f（x）=0，則有l(wèi)nx=0，
函數(shù)有1個零點，
綜上：a＞0時，函數(shù)有2個零點，a≤0時，函數(shù)有1個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，本題是一道中檔題．