Question

16．在邊長為1的正方形ABCD中，以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$；以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$．若m為（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）的最小值，其中{i，j}⊆{1，2，3}，{s，t}⊆{1，2，3}，則m=-5．

Answer 1

分析 如圖建立直角坐標(biāo)系．不妨記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$分別為$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$分別為$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．再分類討論當(dāng)i，j，k，l取不同的值時(shí)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）最小值．

解答 解：不妨記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$分別為$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$分別為$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．如圖建立坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)i=1，j=2，s=1，t=2時(shí)，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）當(dāng)i=1，j=2，s=1，t=3時(shí)，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）當(dāng)i=1，j=2，s=2，t=3時(shí)，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）當(dāng)i=1，j=3，s=1，t=2時(shí)，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同樣地，當(dāng)i，j，s，t取其它值時(shí)，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=-5，-4，或-3．
則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）的最小值是-5．
故答案為：-5

點(diǎn)評 本小題主要考查平面向量坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基本知識，考查考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力