Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a}&{x＜0}\\{lnx}&{x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A、B處的切線重合，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-ln2，+∞）
• C． （-2，-1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關(guān)系式，從而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1，最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））處的切線方程為：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜1，且a=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，
設(shè)h（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，（0＜t＜1），
則h′（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-2）（t+1）}{2t}$＜0，
∴h（t）在（0，1）為減函數(shù)，
則h（t）＞h（1）=-ln1-1，∴a＞-1，
∴若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，
a的取值范圍（-1，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．