Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜x+1的解集；
（2）若a+b=1，f（x）-f（x+1）＞$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$對任意正實(shí)數(shù)a，b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法即可求不等式f（x）＜x+1的解集；
（2）求出$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$的最大值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為解絕對值不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x-1|．
∴不等式f（x）＜x+1等價為|2x-1|＜x+1，
若x+1≤0，即x≤-1時，不等式不成立，
則x＞-1，此時不等式進(jìn)行平方得4x²-4x+1＜x²+2x+1，
即3x²-6x＜0即x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
故不等式的解集為（0，6）．
（2）∵若a+b=1，$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$=（$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$）（a+b）≥（a+b）²=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∴要使f（x）-f（x+1）＞$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$對任意正實(shí)數(shù)a，b恒成立，
則f（x）-f（x+1）＞1，
即|2x-1|-|2x+1|＞1，
若x＞$\frac{1}{2}$，不等式等價為2x-1-2x-1＞1即-2＞1不成立，
若-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，不等式等價為-2x+1-2x-1＞1即-4x＞1成立，解得x＜-$\frac{1}{4}$，此時-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，
若x＜$\frac{1}{2}$，不等式等價為-2x+1+2x+1＞1即2＞1成立，此時x＜$\frac{1}{2}$，
綜上x＜-$\frac{1}{4}$，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．