Question

12．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)Q為橢圓C的左頂點(diǎn)
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△QAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)（0，1）代入橢圓C方程可知b=1，利用離心率可知a=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）對(duì)直線l的斜率存在性進(jìn)行討論，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)設(shè)過(guò)D（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入S_△QAB=$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₁|+$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₂|計(jì)算即得結(jié)論；當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)可知過(guò)D（-1，0）的直線l的方程為x=-1，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴橢圓C的上頂點(diǎn)為（0，1），即b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可知Q（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，可設(shè)過(guò)D（-1，0）的直線l的方程為：y=k（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
S_△QAB=$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₁|+$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₂|
=$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$•1•k|x₁-x₂|
=$\frac{k}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{k}{2}$•$\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$
=$\frac{k}{2}$•4$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+1}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$
=2•$\sqrt{\frac{{k}^{2}（4{k}^{2}+1）-{k}^{4}}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$
=2•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-（\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}）^{2}}$，
記t=$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，則0＜t＜$\frac{1}{4}$，
∵g（t）=t-t²=-$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$在區(qū)間（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_max＜g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{16}$，
∴S_△QAB＜2•$\sqrt{\frac{3}{16}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，過(guò)D（-1，0）的直線l的方程為：x=-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₁|+$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₂|
=$\frac{1}{2}$•|QD|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}•1•$$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
綜上所述，△QAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．