Question

13．若函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)為m、n，滿足|m-n|≤a，且|f（m）-f（n）|≤a，則稱函數(shù)f（x）為“密集a函數(shù)”，設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1（a≠0）是“密集3函數(shù)”，則a的取值范圍是$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到極值點(diǎn)，然后利用新定義，求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1，可得f′（x）=ax²+ax-2a．∵a≠0，∴令f′（x）=0，解得x=-2，或x=1，由新定義可知：|f（-2）-f（1）|=|$-\frac{8}{3}a+2a+4a-\frac{a}{3}-\frac{a}{2}+2a$|=|$\frac{9a}{2}$|≤3，解得$-\frac{2}{3}≤a≤\frac{2}{3}$，又a≠0，
所以，a∈$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．
故答案為：$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，新定義的理解與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．