Question

1．如圖，在三棱柱ABC-₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁CC₁，BC=$\sqrt{2}$，AB=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，點(diǎn)E為棱BB₁的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面ACC₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥BC₁，在△CBC₁中，由余弦定理求解C₁B=$\sqrt{2}$，然后證明BC⊥BC₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）點(diǎn)E到平面ACC₁的距離等于點(diǎn)B到平面ACC₁的距離，利用等體積，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)锽C=$\sqrt{2}$，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，
在△BCC₁中，由余弦定理，可求得C₁B=$\sqrt{2}$，
所以C₁B²+BC²=C₁C²，C₁B⊥BC．
又AB⊥側(cè)面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，
又CB∩AB=B，所以C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：易知BB₁∥平面ACC₁，又點(diǎn)E在BB₁上，
所以點(diǎn)E到平面ACC₁的距離等于點(diǎn)B到平面ACC₁的距離．
在Rt△ABC中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，所以AC=$\sqrt{6}$．
同理可求得AC₁=$\sqrt{6}$．
設(shè)點(diǎn)B到平面ACC₁的距離為d，在四面體C₁-ABC中，
${V}_{B-AC{C}_{1}}={V}_{A-BC{C}_{1}}$，即$\frac{1}{3}$${S}_{△AC{C}_{1}}$×d=$\frac{1}{3}$${S}_{△BC{C}_{1}}$×AB，
所以$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5}$×d=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×2，解得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
即點(diǎn)E到平面ACC₁的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線線垂直，考查錐體體積的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．