Question

5．如圖是一個弓形APB湖面景點(diǎn)的平面示意圖．其所在圓O的半徑為$\sqrt{2}$（圓心O在弓形APB內(nèi)），P點(diǎn)是AB弧的中點(diǎn)，C為圓周上靠近A的一點(diǎn)，D為圓周上靠近B的一點(diǎn)，且CD∥AB．現(xiàn)在準(zhǔn)備從A經(jīng)過C到D建造一條觀光路線，其中A到C是圓弧AC，C到D是線段CD．設(shè)∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠POD=α rad，觀光路線總長為y km．
（1）求y關(guān)于α的函數(shù)的解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）求觀光路線總長的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，將弧AC和弦CD的長度相加，可得y關(guān)于α的函數(shù)的解析式，結(jié)合∠AOB=$\frac{π}{2}$，求出∠POD的范圍，可得該函數(shù)的定義域；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）由題意得，
y=$\sqrt{2}$•（$\frac{3π}{4}$-α）+$\sqrt{2}$•sinα×2=$\frac{3\sqrt{2}}{4}π$-$\sqrt{2}$α+2$\sqrt{2}$sinα，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠POD=α，
∴0＜2α＜2π-$\frac{π}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{3π}{4}$；
函數(shù)的定義域?yàn)閧α|0＜α＜$\frac{3π}{4}$}；
（2）y′=$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$cosα，
令y′=0解得，α=$\frac{π}{3}$，
故當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時，觀光路線總長最大，
最大值為$\frac{5\sqrt{2}}{12}π$+$\sqrt{6}$（km）．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題．