分析 (1)對f(x)求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得,fn(x)=nx3+2x-n在R上單調(diào)遞增,證明fn($\frac{n}{n+1}$)=-($\frac{n}{n+1}$)3( $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$)即可.
解答 解:(1)f′(x)=3ax2+2,
若a≥0,則f′(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;
若a<0,令f'(x)>0,∴x>$\sqrt{\frac{2}{3a}}$或x<-$\sqrt{\frac{2}{3a}}$,
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,$\sqrt{\frac{2}{3a}}$)和($\sqrt{\frac{2}{3a}}$,+∞);
(2)證明:由(1)得,fn(x)=nx3+2x-n在R上單調(diào)遞增,
又fn(1)=n+2-n=2>0,
fn(2)=n23+2×2-n=8n+4-n=7n+4>0,
fn($\frac{n}{n+1}$)=n($\frac{n}{n+1}$)3+2($\frac{n}{n+1}$)-n=-($\frac{n}{n+1}$)3( $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$),
當(dāng)n≥2時,g(n)=n2-n-1>0,fn($\frac{n}{n+1}$)<0,
n≥2時存在唯一xn且xn∈($\frac{n}{n+1}$,1).
點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的求單調(diào)區(qū)間的方法以及函數(shù)的零點問題,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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80后 | 780 | 420 | 200 |
70后 | 120 | 180 | 300 |
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