Question

14．已知實數(shù)a，b，c滿足$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{^{2}=ac}\\{3b≥2a+c}\end{array}\right.$，則$\frac{4a+2b+c}{a+b}$的最大值與最小值之和為（　�。�

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{13}{2}$
• C． $\frac{31}{2}$
• D． $\frac{51}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)c＞0，b²=ac，判斷，a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為以公比q為變量的函數(shù)，利用基本不等式的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：∵c＞0，b²=ac，
∴a＞0，
∵3b≥2a+c，
∴b＞0，
則a，b，c成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，（q＞0），
則c=aq²，b=aq，
由3b≥2a+c得3aq≥2a+aq²，
即q²-3q+2≤0，
即1≤q≤2，
則$\frac{4a+2b+c}{a+b}$=$\frac{4a+2aq+a{q}^{2}}{a+aq}$=$\frac{{q}^{2}+2q+4}{1+q}$=$\frac{（q+1）^{2}+3}{q+1}$=（q+1）+$\frac{3}{q+1}$
設(shè)t=q+1，則2≤t≤3，
則y=t+$\frac{3}{t}$則2≤t≤3為增函數(shù)，
∴當t=2時，取得最小值y=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，當t=3時，取得最大值y=3+1=4，
則$\frac{4a+2b+c}{a+b}$的最大值與最小值之和為4+$\frac{7}{2}$=$\frac{15}{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)不等式的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．