Question

4．如圖，某景區(qū)有一座高AD為1千米的山，山頂A處可供游客觀賞日出，坡角∠ACD=30°，在山腳有一條長(zhǎng)為10千米的小路BC，且BC與CD垂直，為方便游客，該景區(qū)擬在小路BC上找一點(diǎn)M，建造兩條直線型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造價(jià)為30萬元，公路MA每千米造價(jià)為30萬元．
（1）設(shè)∠AMC=θ，求出造價(jià)y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)BM長(zhǎng)為多少米時(shí)才能使造價(jià)y最低？

Answer 1

分析 （1）通過銳角三角函數(shù)的定義易知AC=2、MC=$\frac{2}{tanθ}$、AM=$\frac{2}{sinθ}$、BM=10-$\frac{2}{tanθ}$，進(jìn)而利用y=30（BM+2AM）化簡(jiǎn)即得結(jié)論；
（2）通過令y=0可知cosθ=$\frac{1}{2}$，結(jié)合α≤θ≤$\frac{π}{2}$及tanα=$\frac{1}{5}$可知θ=$\frac{π}{3}$，通過求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，由AD=1、∠ACD=30°可知AC=2，
在Rt△ACM中，MC=$\frac{2}{tanθ}$，AM=$\frac{2}{sinθ}$，則BM=10-$\frac{2}{tanθ}$，
設(shè)造價(jià)y的單位為千萬元，則
y=30（BM+2AM）
=30（10-$\frac{2}{tanθ}$+$\frac{4}{sinθ}$）
=60（5+$\frac{2-cosθ}{sinθ}$），（α≤θ≤$\frac{π}{2}$，其中tanα=$\frac{1}{5}$）；
（2）y=60•$\frac{si{n}^{2}θ-cosθ（2-cosθ）}{si{n}^{2}θ}$=60•$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
令y=0，得cosθ=$\frac{1}{2}$，
又∵α≤θ≤$\frac{π}{2}$，其中tanα=$\frac{1}{5}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
列表：

θ	$[α，\frac{π}{3}）$	$\frac{π}{3}$	$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$
cosθ	$（\frac{1}{2}，\frac{5}{\sqrt{26}}]$	$\frac{1}{2}$	$[0，\frac{1}{2}）$
y′	-	0	+
y	↓	最小值	↑

∴當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)y有最小值，此時(shí)BM=10-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
答：當(dāng)BM長(zhǎng)為（10-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）米時(shí)才能使造價(jià)y最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．