Question

13．（普通中學(xué)做）已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃=3，a₇=7，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2b_n-2
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)、公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式，由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2b_n-2，得{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃=3，a₇=7，設(shè)公差為d．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+6d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，n∈N^*．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2b_n-2，
∴b₁=S₁=2b₁-2，解得b₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=2b_n-2及S_n-1=2b_n-1-2，
兩式相減，得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ．（n∈N^*）．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．