Question

2．已知m∈R，函數(shù)f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m．
（1）若0＜m≤$\frac{1}{2}$，求|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）；
（2）對(duì)任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最大值為h（m），求h（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的最大值和最小，比較|f（x）|的大小即可求出函數(shù)|f（x）|最大值g（m）；
（2）求出m與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+2+m+（$\frac{3-2m}{2}$）²=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$，
則對(duì)稱軸為x=$\frac{3-2m}{2}$，
若0＜m≤$\frac{1}{2}$，則0＜2m≤1，1≤$\frac{3-2m}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
則函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）為最大值f（1）=-1+3-2m+2+m=4-m，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）為最小值f（-1）=-1-3+2m+2+m=3m-2，
∵0＜m≤$\frac{1}{2}$，∴0＜3m≤$\frac{3}{2}$，-2＜3m-2≤-$\frac{1}{2}$
則|f（-1）|=|3m-2|∈[$\frac{1}{2}$，2），
f（1）=4-m∈[$\frac{7}{2}$，4），
則|f（1）|＞|f（-1）|，
即|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4-m；
（2）f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$，
則函數(shù) 對(duì)稱軸為x=$\frac{3-2m}{2}$，
若0＜m≤1，則0＜2m≤2，$\frac{1}{2}$≤$\frac{3-2m}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
若m≤$\frac{3-2m}{2}$，即0＜m≤$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，m]上單調(diào)遞增，則最大值為h（m）=f（m）=-m²+（3-2m）m+2+m=-3m²+4m+2．
若m＞$\frac{3-2m}{2}$，即$\frac{3}{4}$＜m≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，m]上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng)x=$\frac{3-2m}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值h（m）=$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$=m²-2m+$\frac{17}{4}$
即h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-3{m}^{2}+4m+2，}&{0＜m≤\frac{3}{4}}\\{{m}^{2}-2m+\frac{17}{4}，}&{\frac{3}{4}＜m≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜m≤$\frac{3}{4}$時(shí)，h（m）=-3m²+4m+2的對(duì)稱軸為m=$-\frac{4}{2×（-3）}$=$\frac{2}{3}$．即當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)h（m）取得最大值h（$\frac{2}{3}$）=-3×（$\frac{2}{3}$）²+4×$\frac{2}{3}$+2=$\frac{10}{3}$．
當(dāng)$\frac{3}{4}$＜m≤1時(shí)，h（m）=m²-2m+$\frac{17}{4}$的對(duì)稱軸為m=1，此時(shí)函數(shù)h（m）為減函數(shù)，則函數(shù)h（m）＜h（$\frac{3}{4}$）=（$\frac{3}{4}$）²-2×$\frac{3}{4}$+$\frac{17}{4}$=$\frac{53}{16}$．
∵$\frac{10}{3}$＞$\frac{53}{16}$．
∴h（m）的最大值是$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)一元二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．