Question

10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底邊與側(cè)棱長均為1，點E、F是側(cè)棱上的中點
（1）求AF與底面ABC所成角的正切值；
（2）求四棱錐A-BEFC的體積．

Answer 1

分析 （1）由C₁C⊥平面ABC可知，∠FAC為AF與底面ABC所成的角；
（2）取BC中點D，連結(jié)AD，則AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD⊥平面BCC₁B₁，代入體積公式計算．

解答 解：（1）∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CF⊥AC，∠FAC為AF與底面ABC所成的角．
∴tan∠FAC=$\frac{FC}{AC}=\frac{1}{2}$．
（2）取BC中點D，連結(jié)AD
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
又BC?平面BCC₁B₁，C₁C?平面BCC₁B₁，BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴V_A-BCFE=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BCFE}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查了線面角的定義，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．