Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)P（2，4）的函數(shù)f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出斜率k=4，從而求出切線方程；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程，將P（2，4）代入切線方程即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²，
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=f′（2）=4，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y-4=4（x-2），
即4x-y-4=0
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)$A（{x_0}，\frac{1}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}）$，
則切線的斜率$k={f^'}（{x_0}）={x_0}^2$
∴切線方程為$y-（\frac{1}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}）={x_0}^2（x-{x_0}）$，
即$y={x_0}^2•x-\frac{2}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}$
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上
∴4=2${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{2}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{4}{3}$即：${{x}_{0}}^{3}$-3${{x}_{0}}^{2}$+4=0，
∴（x₀+1）${{（x}_{0}-2）}^{2}$=0，解得：x₀=-1或x₀=2，
∴所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．