Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}}$]．若f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-2λ|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的最小值是-$\frac{3}{2}$，求λ的值．

Answer 1

分析 利用向量的運(yùn)算得出（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，利用三角函數(shù)性質(zhì)得出0≤cos x≤1，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，分類討論得出①若λ＜0，f （x）取得最小值-1，這與已知矛盾②若0≤λ≤1，解得：$λ=\frac{1}{2}$，③若λ＞1，解得：$λ=\frac{5}{8}$，這與λ＞1相矛盾．綜合可得出λ的值．

解答 解：a•b=$cos\frac{3}{2}xcos\frac{1}{2}x-sin\frac{3}{2}xsin\frac{1}{2}x=cos2x$，
|a+b|=$\sqrt{{{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{1}{2}x）}^2}+{{（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{1}{2}x）}^2}}=\sqrt{2+2cos2x}=2|cosx|$
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$∴cos x≥0，因此|a+b|=2cosx，
∴f （x）=a•b-2λ|a+b|即f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$∴0≤cos x≤1，
①若λ＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x=0時(shí)，f （x）取得最小值-1，這與已知矛盾；
②若0≤λ≤1，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x=λ時(shí)，f （x）取得最小值-1-2λ²；
由已知得$-1-2{λ^2}=-\frac{3}{2}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$，
③若λ＞1，則當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時(shí)，f （x）取得最小值1-4λ，
由已知得$1-4λ=-\frac{3}{2}$，解得：$λ=\frac{5}{8}$，這與λ＞1相矛盾．   
綜上所述，$λ=\frac{1}{2}$為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了平面向量的運(yùn)算，與三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的題目，利用符合二次函數(shù)求解，屬于中檔題．