Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a_n²，S_n，n成等差數(shù)列，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）寫出a_n與a_n-1（n≥2）的關(guān)系式并求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答 解：（1）∵a_n²，S_n，n成等差數(shù)列，∴2S_n=a_n²+n
∵S_n-S_n-1=a_n，∴$2{a}_{n}={a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}+1$，∴$（{a}_{n}-1）^{2}={a}_{n-1}^{2}$，∴a_n-a_n-1=±1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1
分別令n=1，2，3，得
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}={a}_{1}^{2}+1}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}）={a}_{2}^{2}+2}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）={a}_{3}^{2}+2}\end{array}\right.$∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的結(jié)論：猜想a_n=n
（�。┊攏=1時，a₁=1成立；
（ⅱ）假設(shè)當n=k（k≥2）時，a_k=k．
那么當n=k+1時，
[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
這就是說，當n=k+1時也成立，
∴a_n=n（n≥2）．顯然n=1時，也適合．
綜合（1）（2）可知對于n∈N^*，a_n=n都成立．

點評 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，由數(shù)列的前n項和求通項公式，屬于中檔題．