Question

14．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$．
（1）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1相鄰兩個交點間的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，求得x的值，可得結論．

解答 解：（1）f（x）=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，所以f（x）的值域為$[-\sqrt{3}，2]$．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，∴$sin（2x-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，故 $2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴當函數(shù)y=f（x）的圖象和直線 y=1時的兩交點的最短距離為$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的零點與方程的根的關系，屬于基礎題．