Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄+2=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果a_m=b_n（n∈N^*），寫出m，n的關(guān)系式m=f（n），并求f（1）+f（2）+…+f（n）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由已知列式求得d，q的值，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）由a_m=b_n，得$m=\frac{1}{2}（{3^{n-1}}+1）$，然后結(jié)合m=f（n）再由等比數(shù)列的前n項和公式求得f（1）+f（2）+…+f（n）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}1+d=q\\ 1+3d+2={q^2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}}\right.$ 或$\left\{{\begin{array}{l}{d=-1}\\{q=0}\end{array}}\right.$（舍）．
∴a_n=2n-1，${b_n}={3^{n-1}}$；
（Ⅱ）∵a_m=b_n，
∴2m-1=3^n-1，即$m=\frac{1}{2}（{3^{n-1}}+1）$．
則$f（1）+f（2）+…f（n）=\frac{1}{2}（{3^0}+1+{3^1}+1+…+{3^{n-1}}+1）$
=$\frac{1}{2}（{3^0}+{3^1}+…+{3^{n-1}}+n）$=$\frac{1}{2}（\frac{{1-{3^n}}}{1-3}+n）$=$\frac{{{3^n}+2n-1}}{4}$．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=$\frac{{{3^n}+2n-1}}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．