Question

19．已知橢圓E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與E相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為（2，-1），則E的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用斜率公式可得：k_l=1，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，由于$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，相減可得a，b的關(guān)系式，再利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{0-（-1）}{3-2}$=1，x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
∵$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{2}+{y}_{1}）（{y}_{2}-{y}_{1}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=0，
解得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．