Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0）在橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1上，過點(diǎn)P的直線l的方程為$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若直線l與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，試求△OAB面積的最小值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)Q與點(diǎn)F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，求證：點(diǎn)Q，P，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅱ）在直線l中，分別令x=0，y=0，求得A，B的坐標(biāo)，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值；
（Ⅲ）討論①當(dāng)x₀=0時(shí)，P（0，±1），②當(dāng)x₀≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），運(yùn)用對(duì)稱，分別求得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知$a=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2-1}=1$，
所以橢圓C離心率為$e=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，所以x₀≠0，y₀≠0．
令y=0，由$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}y=1$得$x=\frac{2}{x_0}$，則$A（\frac{2}{x_0}，0）$．
令x=0，由$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}y=1$得$y=\frac{1}{y_0}$，則$B（0，\frac{1}{y_0}）$．
所以△OAB的面積S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•OB|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}{y}_{0}}$|=$\frac{1}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$．
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．
所以1=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²≥2•$\frac{|{x}_{0}{y}_{0}|}{\sqrt{2}}$，即$|{{x_0}{y_0}}|≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$\frac{1}{{|{{x_0}{y_0}}|}}≥\sqrt{2}$．
所以S_△OAB≥$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{x_0}^2}}{2}={y_0}^2$，即${x_0}=±1，{y_0}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，
△OAB面積的最小值為$\sqrt{2}$． 
（Ⅲ）證明：①當(dāng)x₀=0時(shí)，P（0，±1）．
當(dāng)直線l：y=1時(shí)，易得Q（-1，2），此時(shí)${k_{{F_2}P}}=-1$，${k_{{F_2}Q}}=-1$．
因?yàn)?{k_{{F_2}Q}}={k_{{F_2}P}}$，所以三點(diǎn)Q，P，F(xiàn)₂共線．
同理，當(dāng)直線l：y=-1時(shí)，三點(diǎn)Q，P，F(xiàn)₂共線．
②當(dāng)x₀≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_0}{2}•\frac{m-1}{2}+{y_0}•\frac{n}{2}=1}\\{\frac{{\frac{n}{2}-0}}{{\frac{m-1}{2}+1}}•（-\frac{x_0}{{2{y_0}}}）=-1}\end{array}}\right.$整理得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}m+2{y_0}n-{x_0}-4=0}\\{2{y_0}m-{x_0}n+2{y_0}=0}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}}\\{n=\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}}\end{array}}\right.$，
所以點(diǎn)$Q（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}，\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}）$．
又因?yàn)?\overrightarrow{{F_2}P}=（{x_0}-1，{y_0}）$，$\overrightarrow{{F_2}Q}=（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}-1，\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}）$，
且$（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}-1）•{y_0}-\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}•（{x_0}-1）={y_0}•\frac{{（4{x_0}-8{y_0}^2）-（4{x_0}+8）（{x_0}-1）}}{4y_0^2+x_0^2}$
=${y_0}•\frac{{4{x_0}-8{y_0}^2-（4{x_0}^2+4{x_0}-8）}}{4y_0^2+x_0^2}$
=${y_0}•\frac{{-8{y_0}^2-4{x_0}^2+8}}{4y_0^2+x_0^2}={y_0}•\frac{{-4（2{y_0}^2+{x_0}^2）+8}}{4y_0^2+x_0^2}={y_0}•\frac{-4×2+8}{4y_0^2+x_0^2}=0$．
所以$\overrightarrow{{F_2}P}∥$$\overrightarrow{{F_2}Q}$．所以點(diǎn)Q，P，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線．
綜上所述，點(diǎn)Q，P，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的基本量的關(guān)系，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查三點(diǎn)共線的證明，注意運(yùn)用斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．