Question

20．求${（{1+x+\frac{1}{x^2}}）^{10}}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 將已知的二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為：（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）¹⁰=（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）…（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（10個(gè)括號(hào)相乘），利用組合數(shù)的性質(zhì)，即可求得其展開式中的常數(shù)項(xiàng)

解答 解：求${（{1+x+\frac{1}{x^2}}）^{10}}$═（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）•…•（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（10個(gè)括號(hào)相乘），
∴每個(gè)括號(hào)中都提供常數(shù)項(xiàng)1，有1¹⁰種；
從10個(gè)括號(hào)中有選兩個(gè)提供x項(xiàng)，從剩余的8個(gè)括號(hào)中選一個(gè)提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括號(hào)中均提供1，有${C}_{10}^{2}$•${C}_{8}^{1}$ 種；
從10個(gè)括號(hào)中有選4個(gè)提供x項(xiàng)，從剩余的6個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括號(hào)中均提供1，有${C}_{10}^{4}$•${C}_{6}^{2}$ 種；
從10個(gè)括號(hào)中有選6個(gè)提供x項(xiàng)，從剩余的4個(gè)括號(hào)中選3個(gè)提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括號(hào)中均提供1，有${C}_{10}^{6}$•${C}_{4}^{3}$種；
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1+${C}_{10}^{2}{•C}_{8}^{1}$+${C}_{10}^{4}{•C}_{6}^{2}$+${C}_{10}^{6}{•C}_{4}^{3}$=1+360+3150+840=4351．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，突出考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．