Question

7．求（1+x+x²）⁸展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)．

Answer 1

分析 先求得[（x²+x）+1）]⁸的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求出（x²+x）^8-r 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得x⁵的系數(shù)．

解答 解：（x²+x+1）⁸=[（x²+x）+1）]⁸的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=C₈^r•（x²+x）^8-r，r=0，1，2，3，4，5，
而（x²+x）^8-r 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r′+1=${C}_{8-r}^{r′}$•（x²）^8-r-r′•x^r′=${C}_{8-r}^{r′}$•x^16-2r-r′，
0≤r′≤8-r，故有r=3，r′=5，或r=4，r′=3，或r=5，r′=1．
故x⁵的系數(shù)為C₈³C₅⁵+C₈⁴C₄³+C₈⁵C₃¹=56+280+168=504．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．