Question

9．已知F₁、F₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，P是雙曲線右支上一點，點E是線段PF₁中點，且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{{F_1}P}$=0，sin∠PF₂F₁≥2sin∠PF₁F₂，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [5，+∞）
• B． [$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （1，5]
• D． （1，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，根據(jù)條件判斷PF₁⊥PF₂，根據(jù)正弦定理以及分式函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式進(jìn)行求最值即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，
∵點E是線段PF₁中點，且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{{F_1}P}$=0，
∴$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{{F_1}P}$，且OE∥PF₂，
即PF₁⊥PF₂，
則滿足y-x=2a，x²+y²=4c²，
∵sin∠PF₂F₁≥2sin∠PF₁F₂，
∴由正弦定理得y≥2x，則$\frac{y}{x}$≥2，設(shè)m=$\frac{y}{x}$≥2，
∵e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（y-x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1-2m}$=$\frac{{m}^{2}+1-2m+2m}{{m}^{2}+1-2m}$=1+$\frac{2m}{{m}^{2}+1-2m}$
=1+$\frac{2}{m+\frac{1}{m}-2}$，
∵當(dāng)m≥2時，y=m+$\frac{1}{m}$-2在m≥2時，為增函數(shù)，
則y=m+$\frac{1}{m}$-2≥2+$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，即0＜$\frac{2}{m+\frac{1}{m}-2}$≤4，
則1＜1+$\frac{2}{m+\frac{1}{m}-2}$≤5，
即1＜e²≤5，
則1＜e≤$\sqrt{5}$，
故雙曲線離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{5}$]，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)條件判斷PF₁⊥PF₂，結(jié)合正弦定理以及轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．