Question

14．已知函數(shù)f（x）=aln（x+2）-x²在（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p＞q，若不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，24]
• B． （-∞，12]
• C． [12，+∞）
• D． [24，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$，將其變形可得f（p+1）-2（p+1）＞f（q+1）-2（q+1），從而構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，分析可得函數(shù)g（x）為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析可得$g'（x）=f'（x）-2=\frac{a}{x+2}-2x-2≥0$在x∈（1，2）上恒成立，分析可得a≥[（x+2）（2x+2）]恒成立，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得[（x+2）（2x+2）]的最大值，由恒成立的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}＞2$，變形可得得f（p+1）-f（q+1）＞2（p-q），
則f（p+1）-2（p+1）＞f（q+1）-2（q+1），
令g（x）=f（x）-2x，則有g(shù)（p+1）＞r（q+1）
又由實數(shù)p、q∈（0，1），且p＞q，
所以函數(shù)g（x）=f（x）-2x在（1，2）上單調(diào)遞增，
從而$g'（x）=f'（x）-2=\frac{a}{x+2}-2x-2≥0$在x∈（1，2）上恒成立
即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]_max
又函數(shù)y=（x+2）（2x+2）=2（x²+3x+2）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增
所以[（x+2）（2x+2）]_max=24，
所以a≥24；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），并判斷出函數(shù)的單調(diào)性．