Question

19．2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲，游戲分為兩個(gè)環(huán)節(jié)．
第一環(huán)節(jié)“解鎖”：給定6個(gè)密碼，只有一個(gè)正確，參賽選手從6個(gè)密碼中任選一個(gè)輸入，每人最多可輸三次，若密碼正確，則解鎖成功，該選手進(jìn)入第二個(gè)環(huán)節(jié)，否則直接淘汰．
第二環(huán)節(jié)“闖關(guān)”：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得10個(gè)、20個(gè)、30個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì)，游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲，也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲能闖過第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．
（1）求某參賽選手能進(jìn)入第二環(huán)節(jié)的概率；
（2）設(shè)選手甲在第二環(huán)節(jié)中所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）選手能進(jìn)入第二環(huán)節(jié)，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．第一次解鎖成功的概率為：$\frac{1}{6}$，第二次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{6}$，第三次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，即可得出．
（2）X的所有可能取值為0，10，30，60．利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）選手能進(jìn)入第二環(huán)節(jié)，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．
第一次解鎖成功的概率為：$\frac{1}{6}$，第二次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{6}$，
第三次解鎖成功的概率為：$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，
所以該選手能進(jìn)入第二環(huán)節(jié)的概率為：$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$．
（2）X的所有可能取值為0，10，30，60．
$P（X=0）=（1-\frac{4}{5}）+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×（1-\frac{3}{4}）+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{7}{20}$，$P（X=10）=\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，$P（X=30）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{3}{20}$，$P（X=60）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{10}$．
所以X的分布列為

X	0	10	30	60
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{10}$

$E（X）=0×\frac{7}{20}+10×\frac{2}{5}+30×\frac{3}{20}+60×\frac{1}{10}=14.5$．

點(diǎn)評 本題考查了互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．