Question

5．（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求sin²α+sinαcosα的值
（2）化簡$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$．

Answer 1

分析 （1）方法一：采用切化弦思想．方法二：弦化切的思想．
（2）利用誘導公式和二倍角公式進行化解即可．

解答 解：（1）解法一：采用切化弦思想；
∵$\frac{sinα}{cosα}$=tanα=$\frac{1}{2}$，
∴2sinα=cosα，
又∵sin²α+cos²α=1，
解得：sin²α=$\frac{1}{5}$
則：sin²α+sinαcosα=sin²α+sinα•2sinα=3sin²α=$\frac{3}{5}$．
解法二：采用弦化切的思想：
∵tanα=$\frac{1}{2}$，
則：sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1}=\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$．
（2）$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$；
原式=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{cos2（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）+1}$=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{sinx+1}=2sinx$．

點評 本題考查了采用切化弦和弦化切的思想以及誘導公式和二倍角公式進行化解計算的能力．屬于基礎題．