Question

6．已知正項數(shù)列{a_n}滿足，a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n•a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=1+\frac{1}{a_n}$，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由 （1）知，${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=1+\frac{1}{a_n}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$，
又$\frac{1}{a_1}=1$，∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_n}=n$，∴${a_n}=\frac{1}{n}$（n∈N^*）．
（2）由 （1）知，${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…b_n=$（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．