Question

18．（sinα+sinβ-3）²+（2cosα+cosβ）²的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（sinα，2cosα）、Q（3-sinβ，-cosβ），則（sinα+sinβ-3）²+（2cosα+cosβ）² 表示線段PQ的長的平方．由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得PC的最大值，可得PQ的最大值，從而求得線段PQ的長的平方的最大值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（sinα，2cosα）、Q（3-sinβ，-cosβ），則
（sinα+sinβ-3）²+（2cosα+cosβ）² 表示線段PQ的長的平方．
顯然，點(diǎn)P在橢圓 4x²+y²=4上，點(diǎn)Q在圓 （x-3）²+y²=1，
問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)之間的距離最大值的平方．
如圖所示：C（3，0），
由于PC=$\sqrt{{（sinα-3）}^{2}{+（2cosα）}^{2}}$=$\sqrt{10-6sinα+{3cos}^{2}α}$
=$\sqrt{13-{3sin}^{2}α-6sinα}$=$\sqrt{16-{3（sinα+1）}^{2}}$，
故當(dāng)sinα=-1時，PC取得最大值為4，∴PQ的最大值為4+1=5，
故線段PQ的長的平方的最大值為25，
即 （sinα+sinβ-3）²+（2cosα+cosβ）²的最大值為25．

點(diǎn)評 本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，橢圓和圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．