Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$其中t為參數(shù)，0≤α＜π，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直線l與曲線C的普通方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l上點(diǎn)的最大距離．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程中消去參數(shù)t，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x．能求出曲線C的普通方程．
（2）求出曲線C的圓心和半徑，求出圓心（2，0）到直線sinαx-cosαy+cosα=0，0≤α＜π的距離d，由此能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l上點(diǎn)的最大距離．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$其中t為參數(shù)，0≤α＜π，
∴消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：sinαx-cosαy+cosα=0．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，
∴曲線C的普通方程為x²+y²-4x+3=0．
（2）曲線C的方程x²+y²-4x+3=0轉(zhuǎn)化為（x-2）²+y²=1，圓心為（2，0），半徑r=1，
圓心（2，0）到直線sinαx-cosαy+cosα=0，0≤α＜π的距離d=$\frac{|2sinα+cosα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|$\sqrt{5}sin（α+θ）$|$≤\sqrt{5}$，
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l上點(diǎn)的最大距離d_max=$\sqrt{5}+1$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．