Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)P(

2

，

3

)，且離心率為2，過右焦點(diǎn)F作兩漸近線的垂線，垂足分別為M，N．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求四邊形OMFN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，把點(diǎn)P(

2

，

3

)代入，能求出雙曲線方程．
（2）求出雙曲線方程右焦點(diǎn)F（2，0），漸近線方程y=±

3

x，右焦點(diǎn)F到漸近線y=±

3

x的距離d，由此能求出四邊形OMFN的面積．

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1離心率為2，即e=

c

a

=2，
∴c=2a，∴b²=4a²-a²=3a²，（2分）
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
∵雙曲線過點(diǎn)P(

2

，

3

)，
∴

2

a2

-

3

3a2

=1，解得a²=1，
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．（5分）
（2）∵雙曲線方程為x2-

y2

3

=1，
∴右焦點(diǎn)F（2，0），漸近線方程為y=±

3

x，
右焦點(diǎn)F到漸近線y=±

3

x的距離d=

|±2 3 |

1+3

=

3

，（9分）
在Rt△OMF中，∠OMF=90°，OF=2，MF=

3

，
∴|OM|=

4-3

=1，同理|ON|=1，
∴S_{四邊形OMFN}=2S_△OMF=2×（

1

2

×1×

3

）=

3

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程的求法，考查四邊形面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．