Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），斜率為$\frac{a}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與y²=4cx交于點(diǎn)P，且|OP|=|OF|，O為原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$

Answer 1

分析 由題設(shè)知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，過(guò)F點(diǎn)作x軸的垂線l，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥l，則l為拋物線的準(zhǔn)線，
據(jù)此可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，后在Rt△PDF中根據(jù)勾股定理建立等式，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：取PF的中點(diǎn)E，則OE⊥PF，
斜率為$\frac{a}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l的方程為y=$\frac{a}$（x+c），
即ax-by+ac=0，
∴|OE|=$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=a，
∴|EF|=b，
∴|PF|=2b，
又∵O為FF′的中點(diǎn)，
∴PF′∥EO，
∴|PF′|=2a，
∵拋物線方程為y²=4cx，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），
即拋物線和雙曲線右支焦點(diǎn)相同，
過(guò)F點(diǎn)作x軸的垂線l，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥l，則l為拋物線的準(zhǔn)線，
∴PD=PF′=2a，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a-c，設(shè)P（x，y），
在Rt△PDF中，PD²+DF²=PF²，即4a²+y²=4b²，4a²+4c（2a-c）=4（c²-b²），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查拋物線的定義及性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．