Question

3．用數(shù)學歸納法證明：對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$都成立．

Answer 1

分析 利用數(shù)學歸納法證明即可，注意在證明當n=k+1時，利用$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{1}{k（k+1）}$即可．

解答 證明：（1）當n=2時，左邊=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，右邊=$\frac{1}{2}$，左邊＜右邊，成立；
（2）假設當n=k（k∈N^*，k≥2）時，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$都成立．
則當n=k+1時，左邊=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{k-1}{k}$+$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{k}{k+1}$=$\frac{（k+1）-1}{k+1}$=右邊．
∴當n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$都成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法、“放縮法”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．