Question

3．某大學的一個社會實踐調查小組，在對大學生的良好“光盤習慣”的調査中，隨機發(fā)放了l20份問巻．對收回的l00份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下2x2列聯(lián)表：

	做不到光盤	能做到光盤	合計
男	45	10	55
女	30	15	45
合計	75	25	100

（1）現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，若從這9份問卷中隨機抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的份數(shù)為ξ，試求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望
（2）如果認為良好“光盤習慣”與性別有關犯錯誤的概率不超過P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應為多少？請說明理由．
附：獨立性檢驗統(tǒng)計量K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d，
獨立性檢驗臨界表：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

Answer 1

分析 （1）因為9份女生問卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因為ξ表示從這9份問卷中隨機抽取的4份中能做到光盤的問卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相應的概率，可得隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）計算K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03，可得結論．

解答 解：（1）因為9份女生問卷是用分層抽樣方法取得的，
所以9份問卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．                     …（2分）
因為ξ表示從這9份問卷中隨機抽出的4份中能做到光盤的問卷份數(shù)，
所以ξ有0，1，2，3的可能取值，又9份問卷中每份被取到的機會均等，
所以隨機變量ξ服從超幾何分布，可得到隨機變量的分布列為：$P（ξ=0）=\frac{C_6^4}{C_9^4}=\frac{5}{42}$$P（ξ=1）=\frac{C_6^3C_3^1}{C_9^4}=\frac{10}{21}$$P（ξ=2）=\frac{C_6^2C_3^2}{C_9^4}=\frac{5}{14}$$P（ξ=3）=\frac{C_6^1C_3^3}{C_9^4}=\frac{1}{21}$
隨機變量的分布列可列表如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

…（6分）
所以Eξ=0×$\frac{5}{42}$+1×$\frac{10}{21}$+2×$\frac{5}{14}$+3×$\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$   …（8分）
（2）K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03…（10分）
因為2.706＜3.03＜3.840，
所以能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為良好“光盤習慣”與性別有關，
即精確的值應為0.10…（12分）

點評 本題考查隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望，考查獨立性檢驗，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合．