Question

12．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$叫做曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
①函數(shù)y=x³-x²+1圖象上兩點A與B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則ϕ（A，B）＞$\sqrt{2}$
②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；
③設(shè)點A、B是拋物線y=x²+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；
④設(shè)曲線y=e^x上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）．
以上正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x³-x²+1、y=x²+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷①、③；舉例說明②正確；求出曲線y=e^x上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t•φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明④錯誤．

解答 解：對于①，由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
則k_A=y′|_x=1=1，k_B=y′|_x=2=8，
y₁=1，y₂=5，則|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（5-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{7}{\sqrt{17}}$＞$\sqrt{2}$正確；
對于②，常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)，正確；
對于③，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=2x，
則k_A-k_B=2x₁-2x₂，|AB|=|x₁-x₂|$\sqrt{1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$．
∴φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}}$$≤\frac{2}{1}$=2，正確；
對于④，由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即t|${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$|＜$\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，t=1時該式成立，∴錯誤．
故答案為：①②③．

點評 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．